题目内容
【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|,a∈R.
(Ⅰ)若不等式f(x)≥2﹣|x﹣1|恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,直线y=m与函数f(x)的图象围成三角形,求m的最大值及此时围成的三角形的面积.
【答案】解:(I)∵f(x)≥2﹣|x﹣1|恒成立,即|x﹣ |+|x﹣1|≥1恒成立, 又|x﹣
|+|x﹣1|≥|x﹣
﹣(x﹣1)|=|1﹣
|,
∴|1﹣ |≥1,解得a≤0或a≥4.
∴a的取值范围是(﹣∞,0]∪[4,+∞).
(II)当a=1时,f(x)=|2x﹣1|+|x﹣1|= ,
做出f(x)的函数图象如图所示:
由图象可知当 <m≤1时,直线y=m与f(x)的图象构成三角形.
∴m的最大值为1,
令2﹣3x=1得x= ,此时围成三角形的面积为
(1﹣
)×(1﹣
)=
【解析】(I)利用绝对值三角不等式得出|x﹣ |+|x﹣1|的最小值,从而解出a的范围;(II)做出f(x)的函数图象,根据函数图象得出m的范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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