题目内容
【题目】如图，椭圆
经过点
，且点
到椭圆的两焦点的距离之和为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
是椭圆上的两个点，线段
的中垂线
的斜率为
且直线与交于点
，
为坐标原点，求证：
三点共线.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)根据椭经过点
，且点
到椭圆的两焦点的距离之和为
，结合性质
，，列出关于
、
的方程组，求出 、 ，即可得椭圆
的标准方程；(2)可设直线
的方程为
，联立
得
，设点
，根据韦达定理可得
，所以点
在直线
上，
又点
也在直线上，进而得结果.
详解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，
所以
，解得
又椭圆经过点，所以
，
所以
所以椭圆的标准方程为.
(2)证明：因为线段的中垂线
的斜率为
，
所以直线的斜率为
，
所以可设直线的方程为
据得
设点，
所以
，
所以
.
因为
，所以
所以点在直线上，
又点也在直线上，
所以
三点共线.
练习册系列答案
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【题目】已知椭圆
的焦点在
轴上，中心在坐标原点，抛物线
的焦点在
轴上，顶点在坐标原点，在、上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
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（1）求、的标准方程；
（2）已知定点
，
为抛物线上的一点，其横坐标为
，抛物线在点
处的切线交椭圆于
、
两点，求
面积.
