Question

【题目】某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图，圆柱高为h，半径为r，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且h≥2r，假设其建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米4千元，设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）求y关于r的函数关系，并求其定义域；
（Ⅱ）求建造费用最小时的r．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由容积为72π立方米，得 ．

，解得0＜r≤3

又圆柱的侧面积为 ，

半球的表面积为2πr2，

所以建造费用 ，定义域为（0，3]．

（Ⅱ） ，…（8分）

又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造费用 ，

在定义域（0，3]上单调递减，所以当r=3时建造费用最小

【解析】（Ⅰ）根据题意由圆柱的体积可求出r的取值范围，再利用几何体的表面积等于圆柱的侧面积加上半球的表面积进而得到建造费用的函数解析式。（Ⅱ）利用求导函数的增减性而得到该函数在指定区间内的最值。