题目内容
14.已知数列{an}满足a1=2,an=$\frac{2(2n-1)}{n}$an-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:a1+a2+…+an≤$\frac{2}{3}$(4n-1)
分析 (1)an=$\frac{2(2n-1)}{n}$an-1(n≥2),利用an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$,即可得出;
(2)由于an=2n×$\frac{(2n-1)!!}{n!}$=22n×$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!}$,2n-1<2n,…,1<2,可得an<2×4n-1.再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 (1)解:∵an=$\frac{2(2n-1)}{n}$an-1(n≥2),
∴an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$(2×\frac{2n-1}{n})$×$(2×\frac{2n-3}{n-1})$×…×$(2×\frac{3}{2})$×2=2n×$\frac{(2n-1)!!}{n!}$.
∴an=2n×$\frac{(2n-1)!!}{n!}$.当n=1时也成立.
∴an=2n×$\frac{(2n-1)!!}{n!}$.
(2)证明:∵an=2n×$\frac{(2n-1)!!}{n!}$=22n×$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!}$,2n-1<2n,…,1<2,
∴an<2×4n-1.
∴当n≥2时,a1+a2+…+an<2+8+…+2×4n-1=$\frac{2({4}^{n}-1)}{4-1}$=$\frac{2}{3}$(4n-1),当n=1时,a1=2=$\frac{2}{3}×(4-1)$.
∴a1+a2+…+an≤$\frac{2}{3}$(4n-1)
点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、“累乘求积”、“放缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | f(x)=x,g(x)=(x${\;}^{\frac{1}{2}}$)2 | B. | f(x)=$\sqrt{1-{x}^{2}}$,g(x)=1-|x|,x∈[-1,1] | ||
C. | y=f(x),g(x)=f(x+1),x∈R | D. | f(x)=|lg0.5x|,g(x)=|x|lg2 |
A. | {1,4,5} | B. | {1,4} | C. | {4} | D. | {1,2,3,4} |