题目内容

3.设集合A={(x,y)|x+a2y+6=0},B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0},若A∩B=∅,则实数a的值为0或-1.

分析 由已知条件可知:集合A、B分别表示两条直线 l1、l2,由A∩B=∅,可知 l1∥l2,进而可求出a的值

解答 解:设直线 l1:x+a2y+6=0,直线 l2:x+3ay+2a=0,
∵A∩B=∅,∴l1∥l2
①当a=0时,直线 l1化为:x+6=0,直线 l2化为:x=0,此时两直线都垂直于x轴,∴l1∥l2,∴A∩B=∅,适合条件.
②当a≠0时,直线 l1化为:y=-$\frac{1}{{a}^{2}}$,直线 l2化为:y=-$\frac{a-2}{3a}$.
要使 l1∥l2,则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{a}^{2}}=-\frac{a-2}{3a}}\\{-\frac{6}{{a}^{2}}≠-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$ 解之得a=-1.
综上①②可知实数a的值为0或-1.
故答案为0或-1.

点评 本题借助于直线的平行考查了集合的交集为空集,弄清直线平行的条件是解决问题的关键

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