Question

7．已知M是焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）椭圆上任-点．且三角形F₁MF₂的面积的最大值$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）一直线l过F₂且与椭圆C交于A、B两点，交y轴于点P，证明：$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$为定值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意得c=1，由三角形的面积公式及椭圆的范围可得b=$\sqrt{3}$，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理，由$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{{x}_{2}-0}{1-{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$，化简整理即可得到定值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意得c=1，三角形F₁MF₂的面积为$\frac{1}{2}$|y_M|•2c=|y_M|，
由椭圆的范围可得|y_M|≤b，即有最大值为b=$\sqrt{3}$，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，即有椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程可得，
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又P（0，-k），F₂（1，0），
即有$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{{x}_{2}-0}{1-{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+1-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$
=$\frac{8{k}^{2}-2（4{k}^{2}-12）}{4{k}^{2}-12+3+4{k}^{2}-8{k}^{2}}$=-$\frac{8}{3}$．
即$\frac{|PB|}{|B{F}_{2}|}$-$\frac{|PA|}{|A{F}_{2}|}$为定值．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的范围的运用，考查直线和椭圆方程的联立，运用韦达定理，以及化简整理的能力，属于中档题．