Question

17．如图：$\widehat{BCD}$是直径为2$\sqrt{2}$的半圆，O为圆心，C是$\widehat{BD}$上一点，且$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$．DF⊥CD，且DF=2，BF=2$\sqrt{3}$，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．
（Ⅰ）求证：QR∥平面BCD；
（Ⅱ）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD，证明RM∥FD，然后利用直线余平米平行的判定定理证明QR∥平面BCD．
（Ⅱ）以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，面BDF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大小即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD

∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且$OQ=\frac{1}{2}DE$-----------------（2分）
∵DF⊥CD∴RM∥FD，
又FR=3RC，∴$\frac{RM}{DF}=\frac{CR}{CF}=\frac{1}{4}$，∴$RM=\frac{1}{4}DF$
∵E为FD的中点，∴$RM=\frac{1}{2}DE$．----------------------（4分）
∴OQ∥RM，且OQ=RM
∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM
又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．----------------------（6分）
（Ⅱ）∵DF=2，$BF=2\sqrt{3}$，$BD=2\sqrt{2}$，∴BF²=BD²+DF²，∴BD⊥DF，
又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD．----------------------（7分）
以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系
∵$\widehat{BC}=2\widehat{CD}$，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD中有$CD=\sqrt{2}$
∴$B（0，-\sqrt{2}，0），C（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0），F（0，\sqrt{2}，2）$----------------------（8分）
∴$\overrightarrow{BC}=（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，0），\overrightarrow{BF}=（0，2\sqrt{2}，2）$，设平面BCF的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+\frac{3}{2}\sqrt{2}y=0\\ 2\sqrt{2}y+2z=0\end{array}\right.$，令y=1，则$z=-\sqrt{2}，x=-\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow m=（-\sqrt{3}，1，-\sqrt{2}）$，
----------------------（10分）
面BDF的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，0，0）$则$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=-\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴平面BDF与平面BCF所成二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．----------------------（12分）
说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明．

点评 本题列出直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．