Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，它的一个顶点在抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C上两点，已知$\overrightarrow m=（\frac{x_1}{a}，\frac{y_1}{b}），\overrightarrow n=（\frac{x_2}{a}，\frac{y_2}{b}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$．
（ⅰ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围；
（ⅱ）判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的准线$y=-\sqrt{2}$，推出b，利用离心率求出椭圆的a，c然后求解椭圆的方程．
（Ⅱ）利用$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$得x₁x₂=-3y₁y₂，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当l斜率不存在时，设A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁）求出结果，当l斜率存在时，设l方程y=kx+m，与椭圆联立，利用韦达定理化简$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，推出范围．
（ⅱ）由（ⅰ）知，l斜率不存在时，求出三角形的面积，l斜率存在时，求出三角形的面积即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为抛物线${x^2}=4\sqrt{2}y$的准线$y=-\sqrt{2}$，∴$b=\sqrt{2}$-----------（1分）
由$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}⇒\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{2}{3}⇒a=\sqrt{6}$----------------------（2分）
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．----------------------（3分）
（Ⅱ）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$得x₁x₂=-3y₁y₂----------------------（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）所在直线为l，当l斜率不存在时，
则A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），∴${x_1}^2=3y_1^2$，又$\frac{{{x_1}^2}}{6}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1$，∴${y_1}^2=1$
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2y_1^2=2$----------------------（5分）
当l斜率存在时，设l方程y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+3{y^2}=6\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-2）=12（6k²-m²+2）＞0…（a）
且${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$．----------------------（7分）

由$\begin{array}{c}{x}_{1}{x}_{2}=-3{y}_{1}{y}_{2}=-3（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）\end{array}\right.$$⇒（1+3{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+3km（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{m}^{2}=0$
整理得1+3k²=m²…（b）-----------（8分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{2}{3}{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{1+3{k^2}}}=\frac{{2{m^2}-4}}{m^2}=2-\frac{4}{m^2}$
由（a），（b）得m²=1+3k²≥1，∴$0＜\frac{4}{m^2}≤4$，∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$
综上：∴$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$．----------------------（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）知，l斜率不存在时，${S_{△OAB}}=|{x_1}{y_1}|=\sqrt{3}y_1^2=\sqrt{3}$，----------------（11分）
l斜率存在时，${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{3}|m|\frac{{\sqrt{2+6{k^2}-{m^2}}}}{{1+3{k^2}}}$
将m²=1+3k²带入整理得${S_{△OAB}}=\sqrt{3}$----------------------（13分）
所以△OAB的面积为定值$\sqrt{3}$．----------------------（14分）

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．