Question

16．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，若$\sqrt{3}$asinC+acosC=c+b．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求b+c的取值范围．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，
∴由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理3=b2+c2-2bccos60°=（b+c）²-3bc≥$\frac{1}{4}$（b+c）²（当且仅当b=c时取等号），即（b+c）²≤12，
∴b+c≤2$\sqrt{3}$．
∵b+c＞$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$＜b+c≤2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．