Question

7．三棱锥S-ABC中，SA⊥面ABC，SA=2，△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积是$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，然后求解表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为1的正三角形，SA⊥面ABC，SA=2，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，
故球的半径R=$\sqrt{\frac{1}{3}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
三棱锥S-ABC外接球的表面积为：4π×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{16π}{3}$．
故答案为：$\frac{16π}{3}$．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，考查三棱锥S-ABC外接球的表面积，求出球的半径是解答的关键．