题目内容
【题目】对于集合,
,
,
.集合
中的元素个数记为
.规定:若集合
满足
,则称集合
具有性质
.
(I)已知集合,
,写出
,
的值;
(II)已知集合,
为等比数列,
,且公比为
,证明:
具有性质
;
(III)已知均有性质
,且
,求
的最小值.
【答案】(I); (II)见解析; (III)
.
【解析】
(Ⅰ)分别求得A+A,B+B,然后可得,
的值;
(Ⅱ)将原问题进行等价变形,然后利用反证法证明题中的结论即可;
(Ⅲ)原问题等价于任意两个元素之和均不相同,且任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.据此整理计算即可确定的最小值.
(I)由题意可得:,
,
故
(II)要证具有性质
,只需证明,若
,则
.
假设上式结论不成立,即若,则
.
即,即
,
,
.
因为上式的右边为的倍数,而上式的左边为
的倍数,所以上式不成立.
故假设不成立,原命题成立.
(III)由题意,集合具有性质
,等价于任意两个元素之和均不相同.
如,对于任意的,有
,
等价于,即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.
令,
所以具有性质
.
因为集合均有性质
,且
,
所以,当且仅当
时等号成立.
所以的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足
升的,按
升计算(如剩余
升,记为剩余
升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为
升,则该桌的每位客人还应付
元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的
组数据
(其中
表示饮酒人数,
(升)表示饮酒量):
,
,
,
,
.
剩余酒量(单位:升) |
| ||||
结账时的倍率 |
(1)求由这组数据得到的
关于
的回归直线方程;
(2)小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了
升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请
位或
位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议?
参考数据:回归直线的方程是,其中
,
.