Question

11．设总体X的概率密度为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}x{e}^{-λx}\\;x＞0}\\{0\\;其他}\end{array}\right.$，其中参数λ（λ＞0），未知X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本．
（1）求参数λ的估计量；
（2）求参数λ的最大似然估计量．

Answer 1

分析 考查矩估计和最大似然估计相关知识点，最大似然估计从构造似然函数入手．

解答 解：（1）按照据估计，根据EX=$\overline{X}$
∴EX=${∫}_{0}^{+∞}$λ²x²e^-λxdx=$\frac{2}{λ}$=$\overline{X}$
∴λ=$\frac{2}{X}$；
（2）构造最大似然函数L（X₁，X₂，…，X_n；λ）=πf（X_i；λ）=${λ}^{2n}π{x}_{i}{e}^{-λ}$-$λ\sum_{i=1}^{n}$x_i
两边取对数：lnL=2nlnλ+$\sum_{i=1}^{n}$lnx_i-λ$\sum_{i=1}^{n}$x_i•$\frac{dlnL}{dλ}$=0
∴λ=$\frac{2}{X}$．

点评 基础题，最大似然函数两边取对数再求导是常用技巧．