Question

9．已知sinx+cosx-k=0在x∈[0，π]有两个解，则k的取值范围是$[1，\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 设y₁=sinx+cosx，y₂=k，方程sinx+cosx=k在[0，π]上有两个解转化为函数y₁=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，π]的图象与直线y₂=k有两个交点，数形结合即可求得k的取值范围．

解答 解：设y₁=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
=$\sqrt{2}$（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，π]，
∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，1≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
再令y₂=k，
则方程sinx+cosx=k在[0，π]上有两个解等价于函数y₁=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，π]的图象与直线y₂=k有两个交点，

∴1≤k＜$\sqrt{2}$．
故答案为：[1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，考查辅助角公式的应用，考查数形结合思想，属于中档题．