题目内容
数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),点(an,Sn)在直线y=2x-3n上.
(1)若数列{an+c}成等比数列,求常数c的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)数列{an}中,是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由点(a
n,S
n)在直线y=2x-3n上,得S
n=2a
n-3n①,则S
n+1=2a
n+1-3(n+1)②,两式相减可得数列递推式,可推得
=2,从而可得c值;
(2)易求a
1,由(1)可求得a
n+3,从而可得a
n;
(3)设存在s,p,r∈N
*,且s<p<r使a
s,a
p,a
r成等差数列,由中项公式可得等式,根据条件说明该等式不成立即可;
解答:解:(1)∵点(a
n,S
n)在直线y=2x-3n上.
∴S
n=2a
n-3n①,
则S
n+1=2a
n+1-3(n+1)②,
②-①得a
n+1=2a
n+3,
∴
=2,∴{a
n+3)为等比数列,则c=3.
(2)∵a
1=S
1=2a
1-3,∴a
1=3.
由(1)知
an+3=(a1+3)•2n-1,∴
an=3•2n-3,n∈N
*;
(3)设存在s,p,r∈N
*,且s<p<r使a
s,a
p,a
r成等差数列,
则2a
p=a
s+a
r,即2(3•2
p-3)=(3•2
s-3)+(3•2
r-3).
∴2
p+1=2
s+2
r,即2
p-s+1=1+2
r-s(*).
∵s、p、r∈N
*,且s<p<r,∴2
p-s+1、2
r-s均为偶数,
从而(*)式产生矛盾.
∴这样的三项不存在.
点评:本题考查等差数列、等比数列的通项公式,考查由数列递推式求数列通项,考查学生解决问题的能力,存在性问题要先假设存在,然后以此出发推理,如有矛盾,则不存在,否则即存在.
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