Question

【题目】已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.

（1）判断点是否在直线上？说明理由；

（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）点在直线上，理由见解析（2）

【解析】

（1）由抛物线的方程可得顶点的坐标，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，再由题意可得直线恒过，即得在直线上；

（2）设，的坐标，可得直线，的斜率及线段，的中点坐标，进而求出线段，的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心的坐标，由（1）可得的横纵坐标关于参数的表达式，消参数可得的轨迹方程．

(1) 点在直线上.理由如下，

由题意, 抛物线的顶点为

因为直线与抛物线有2个交点，

所以设直线AB的方程为

联立得到，

其中，

所以，

因为

所以

，

所以，

解得，

经检验，满足，

所以直线AB的方程为，恒过定点.

（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，

设线段的中点为，线段的中点为为，

因为，设，，，

所以，，，，，，

所以线段的中垂线的方程为：，

因为在抛物线上，所以，

的中垂线的方程为：，即，

同理可得线段的中垂线的方程为：，

联立两个方程，解得，

由（1）可得，，

所以，，

即点，所以，

即点的轨迹方程为：．