Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+kS_nS_n-1=0（k＞0，n≥2，n∈N^*），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）若a_n+4S_n＞0对任意正整数n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入a_n+kS_nS_n-1=0（k＞0，n≥2，n∈N^*）整理、变形可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+k（k＞0，n≥2，n∈N^*），进而可知数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项、k为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=kn-k+2，从而S_n=$\frac{1}{kn-k+2}$，通过a₁=$\frac{1}{2}$可知5S_n＞S_n-1对任意正整数n恒成立（n≥2），进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+kS_nS_n-1=0（k＞0，n≥2，n∈N^*），
∴S_n-S_n-1+kS_nS_n-1=0（k＞0，n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+k（k＞0，n≥2，n∈N^*），
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项、k为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+k（n-1）=kn-k+2，
∴S_n=$\frac{1}{kn-k+2}$，
∴a_n+4S_n＞0对n=1恒成立；
∵a_n+4S_n＞0对任意正整数n恒成立，
∴5S_n＞S_n-1对任意正整数n恒成立（n≥2），
即5•$\frac{1}{kn-k+2}$＞$\frac{1}{kn-2k+2}$，整理得：k（4n-9）+8＞0，
当n=2时，即8-k＞0，解得k＜8；
当n≥3时，4n-9≥3，解得k＞-$\frac{8}{4n-9}$，
又∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{8}{4n-9}$=0，
∴k＞0；
综上所述，0＜k＜8．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．