Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+3•2^n-2，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过将a_n=2a_n-1+3•2^n-2两边同时除以2^n-2可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-3}}$+3，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$}是以2为首项、3为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3•2^n-2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+3•{2}^{n-2}}{{2}^{n-2}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-3}}$+3，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{-1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$}是以2为首项、3为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=2+3（n-1）=3n-1，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．