题目内容
10.己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足αn=$\frac{1}{n}$(n∈N*),若不等式S2n-Sn>$\frac{m}{24}$,对于n∈N*恒成立,则自然数m的最大值为11.分析 通过记Tn=S2n-Sn=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$,利用作差法可知数列{Tn}为递增数列,进而计算可得结论.
解答 解:依题意,记Tn=S2n-Sn=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$,
∵Tn+1-Tn=($\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$+$\frac{1}{n+n+1}$+$\frac{1}{n+n+2}$)-($\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$)
=$\frac{1}{n+n+1}$+$\frac{1}{n+n+2}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{n+n+1}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
>0,
∴数列{Tn}为递增数列,
∴当n=1时,Tn取最小值T1=S2-S1=${a}_{2}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$>$\frac{m}{24}$,即m<12,
故答案为:11.
点评 本题考查数列的通项,考查数列的单调性,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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C. | a∈(0,1),k∈(-$\frac{1}{2}$,0)∪(0,$\frac{1}{2}$) | D. | a∈(0,1),k∈(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$] |