题目内容

已知向量
m
=(sinA,cosA+1),
n
=(1,
3
)
m
n
,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)设f(x)=4cosAsin
x
4
cos
x
4
-2
3
sin2
x
4
+
3
,求f(x)的单调递增区间及函数图象的对称轴.
分析:(I)利用向量平行的充要条件得到
3
sinA=cosA+1
,利用和角公式化简为sin(A-
π
6
)=
1
2
,求出A.
(II)利用三角函数的二倍角公式化简函数f(x),令2kπ-
π
2
x
2
-
π
3
≤2kπ+
π
2
求出函数的递增区间;
x
2
-
π
3
=kπ+
π
2
求出函数的对称轴.
解答:解:(I)因为
m
n

所以
3
sinA=cosA+1

sin(A-
π
6
)=
1
2

又因为A为锐角,
所以A=
π
3

(II)f(x)=4cosAsin
x
4
cos
x
4
-2
3
sin2
x
4
+
3

=2sin
x
4
cos
x
4
-
3
(1-2sin2
x
4
)

=sin
x
2
-
3
cos
x
2

=2sin(
x
2
-
π
3
)

2kπ-
π
2
x
2
-
π
3
≤2kπ+
π
2

解得4kπ-
π
3
≤x≤4kπ+
3

x
2
-
π
3
=kπ+
π
2
解得x=2kπ+
3

所以f(x)的单调递增区间为[4kπ-
π
3
,4kπ+
3
]
;函数图象的对称轴x=2kπ+
3
点评:解决三角函数的性质问题,应该先将三角函数化简为只含一个角一个函数,然后利用整体角处理的方法来解决.
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