Question

【题目】数列a1,a2……an是正整数1,2,……,n的任一排列，且同时满足以下两个条件：

①a1=1；②当n≥2时，|ai-ai+1|≤2(i=1,2，…,n-1).

记这样的数列个数为f(n).

（I）写出f(2),f(3),f(4)的值；

（II）证明f(2018)不能被4整除.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，由f（n）的定义，计算即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列，对于n个数的首项最小数列，由于a1=1，故a2=2或3；分析可得递推关系为f（n）=f（n-1）+f（n-3）+1，进而求出f（2），f（3），…，f（2018）各数被4除的余数，分析可得它们构成14为周期的数列，即可得结论．

试题解析：

（Ⅰ）解：(Ⅰ)根据题意,①a1=1;②当n2时, |ai-ai+1|≤2(i=1,2,…,n1)；

则f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.

（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列.

对于n个数的首项最小数列，由于a1=1，故a2=2或3.

（1）若a2=2，则a2-1,a3-1,,an-1构成n-1项的首项最小数列，其个数为f(n-1)；

（2）若a2=3,a3=2，则必有a4=4，故a4-3,a5-3,……,an-3构成n-3项的首项最小数列，其个数为f(n-3)；

（3）若a2=3,则a3=4或a3=5.设ak+1是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是1,3,,2k-1，ak+1是2k或2k-2，即ak与ak+1是相邻整数.

由条件②，这数列在ak+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在ak+1之后，故ak+1后的各项都小于它.

这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.

综上，有递推关系：f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1，n≥5.

由此递推关系和（I）可得，f(2),f(3),,f(2018)各数被4除的余数依次为：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它们构成14为周期的数列，又2018=14144+2，

所以f(2018)被4除的余数与f(2)被4除的余数相同，都是1，

故f(2018)不能被4整除.