题目内容
已知定义域为R的函数f(x)=
是奇函数.
(1)求f(x);
(2)是否存在最大的常数k,对于任意x实数都有f(x)>k,求出k;若不存在,说明理由.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
-2x+b | 2x+1+a |
(1)求f(x);
(2)是否存在最大的常数k,对于任意x实数都有f(x)>k,求出k;若不存在,说明理由.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
分析:先利用函数是奇函数,求出参数a,b的值.
利用函数的奇偶性和单调性求出k.
利用函数的单调性得到f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的等价命题,再利用不等式恒成立的条件,解出k即可.
利用函数的奇偶性和单调性求出k.
利用函数的单调性得到f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的等价命题,再利用不等式恒成立的条件,解出k即可.
解答:解 (1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即
=0,解得b=1
从而有f(x)=
又由f(1)=-f(-1)知
=
,解得a=2…..(4分)
(2)由(1)知f(x)=
=-
+
由上式易知f(x)在R上为减函数,f(x)>-
,所以k=-
.….(8分)
(3)解法一:由(1)知f(x)=
=-
+
由上式易知f(x)在R上为减函数,
又因f(x)是奇函数,从而不等式
f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)
因f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k
即对一切t∈R有3t2-2t-k>0
从而△=4+12k<0,解得k<-
….(13分)
-1+b |
2+a |
从而有f(x)=
-2x+1 |
2x+1+a |
又由f(1)=-f(-1)知
-2+1 |
4+a |
-
| ||
1+a |
(2)由(1)知f(x)=
-2x+1 |
2x+1+2 |
1 |
2 |
1 |
2x+1 |
由上式易知f(x)在R上为减函数,f(x)>-
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)解法一:由(1)知f(x)=
-2x+1 |
2x+1+2 |
1 |
2 |
1 |
2x+1 |
由上式易知f(x)在R上为减函数,
又因f(x)是奇函数,从而不等式
f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)
因f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k
即对一切t∈R有3t2-2t-k>0
从而△=4+12k<0,解得k<-
1 |
3 |
点评:本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,以及指数函数的性质.
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