题目内容

5.已知圆G经过点A(-5,0),B(1,0),C(-3,-2$\sqrt{2}$)三点.
(1)求圆G的方程;
(2)设D是圆G上异于A,B的任意一点,直线AD,BD交直线l:x=5于A′,B′两点,求证:以线段A′B′为直径的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.

分析 (1)设圆G的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代点可得D、E、F的方程组,解方程组可得;
(2)设直线AD的方程为y=k1(x+5),直线BD的方程为y=k2(x-1),易得k1k2=-1,可得圆的方程为(x-5)2+y2-(10k1-4k2)y-40k1k2=40,令y=0解方程可得定点.

解答 解:(1)设圆G的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∵圆G经过点A(-5,0),B(1,0),C(-3,-2$\sqrt{2}$)三点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5D+F+25=0}\\{D+F+1=0}\\{-3D-2\sqrt{2}E+F+17=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{D=4}\\{E=0}\\{F=-5}\end{array}\right.$
∴圆G的方程为x2+y2+4x-5=0;
(2)∵A(-5,0),B(1,0),
设直线AD的方程为y=k1(x+5),直线BD的方程为y=k2(x-1),
∵D是圆G上异于A,B的任意一点,AB为圆G的直径,∴AD⊥BD,
∴k1k2=-1,又直线AD,BD交直线l:x=5于A′,B′两点,
∴A′(5,10k1),B′(5,4k2),
∴以线段A′B′为直径的圆的圆心为(5,5k1+2k2),半径$\frac{1}{2}$|10k1-4k2|,
∴以线段A′B′为直径的圆的方程为(x-5)2+(y-5k1-2k22=$\frac{1}{4}$|10k1-4k2|2
整理可得(x-5)2+y2-(10k1-4k2)y-40k1k2=40,
令y=0可得(x-5)2=40,解得x1=5+2$\sqrt{5}$,x2=5-2$\sqrt{5}$,
∴以线段A′B′为直径的圆必经过定点(5,5+2$\sqrt{5}$),(5,5-2$\sqrt{5}$)

点评 本题考查直线与圆的位置关系,涉及圆过定点问题,属中档题.

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