题目内容
【题目】某县为了帮助农户脱贫致富,鼓励农户利用荒地山坡种植果树,某农户考察了三种不同的果树苗、
、
.经过引种实验发现,引种树苗
的自然成活率为
,引种树苗
、
的自然成活率均为
.
(1)任取树苗、
、
各一棵,估计自然成活的棵数为
,求
的分布列及其数学期望;
(2)将(1)中的数学期望取得最大值时的值作为
种树苗自然成活的概率.该农户决定引种
棵
种树苗,引种后没有自然成活的树苗有
的树苗可经过人工栽培技术处理,处理后成活的概率为
,其余的树苗不能成活.
①求一棵种树苗最终成活的概率;
②若每棵树苗引种最终成活可获利元,不成活的每棵亏损
元,该农户为了获利期望不低于
万元,问至少要引种
种树苗多少棵?
【答案】(1)分布列见解析,;(2)①
;②
棵.
【解析】
(1)根据题意得出随机变量的可能取值有
、
、
、
,计算出随机变量
在不同取值下的概率,可得出随机变量
的分布列,进而可求得随机变量
的数学期望;
(2)①由(1)知当时,
最大,然后分一棵
种树苗自然成活和非自然成活两种情况,可求得所求事件的概率;
②记为
棵树苗的成活棵数,由题意可知
,利用二项分布的期望公式得出
,根据题意得出关于
的不等式,解出
的取值范围即可得解.
(1)依题意,的所有可能值为
、
、
、
,
则,
,
,
.
所以,随机变量的分布列为:
;
(2)由(1)知当时,
取得最大值.
①一棵种树苗最终成活的概率为:
,
②记为
棵树苗的成活棵数,则
,
,
,
.
所以该农户至少要种植棵树苗,才可获利不低于
万元.
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