题目内容
【题目】设函数,
是函数
的导数.
(1)若,证明
在区间
上没有零点;
(2)在上
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数
的导数可知,
函数在
上单调递增,在
上单调递减,而
,
,可知
在区间
上恒成立,即
在区间
上没有零点;
(2)由题意可将转化为
,构造函数
,
利用导数讨论研究其在上的单调性,由
,即可求出
的取值范围.
(1)若,则
,
,
设,则
,
,
,故函数
是奇函数.
当时,
,
,这时
,
又函数是奇函数,所以当
时,
.
综上,当时,函数
单调递增;当
时,函数
单调递减.
又,
,
故在区间
上恒成立,所以
在区间
上没有零点.
(2),由
,所以
恒成立,
若,则
,设
,
.
故当时,
,又
,所以当
时,
,满足题意;
当时,有
,与条件矛盾,舍去;
当时,令
,则
,
又,故
在区间
上有无穷多个零点,
设最小的零点为,
则当时,
,因此
在
上单调递增.
,所以
.
于是,当时,
,得
,与条件矛盾.
故的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好