题目内容
【题目】(注意:在试题卷上作答无效)
已知数列中,
.
(Ⅰ)设,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式成立的
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
试题(1)由和
得,
,然后令
进行替换得到关系式
,然后运用待定系数法将其整理为
,即可求出
的通项公式,进而求出数列
的通项公式;
(2)先求出时的
的取值范围,然后用数学归纳法对其进行证明,即证明当
时,
,然后当
时,令
,由
,得
;易知当
时,不满足条件,进而可确定参数
的取值范围.
试题解析:(1)由已知有:,所以
,所以
,所以
,所以
是一个首项为
,公比为4的等比数列,
,即
;
(2)由,得
.下面用数学归纳法证明:当
时,
.
①当时,
,命题成立;
②假设当时,
,那么当
时,
.
由①②可知,当时,
;当
时,令
,由
,得
;当
时,
;当
时,
,且
.
所以,
,而当
时,
.不满足题意应舍去.
综上所述,的取值范围为
.
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