题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，其离心率
，点P为椭圆上的一个动点，
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点
，
,求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题（1）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，
面积最大，再根据 椭圆的离心率为
可得到关于a，c的方程组
，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（2）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时
，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到
，根据韦达定理及弦长公式即可求得
，把k换上
即可得到
．所以用k表示出
，这时候设
，t＞1，从而得到
，根据导数求出
的范围，从而求出
的取值范围
试题解析：(1）由题意得，当点
是椭圆的上、下顶点时，
的面积取最大值
此时
所以
因为
所以
，
所以椭圆方程为
（2）由（1）得椭圆方程为，则
的坐标为
因为
，所以
①当直线
与
中有一条直线斜率不存在时，易得
②当直线斜率
存在且
，则其方程为
，设
，
则点
、
的坐标是方程组
的两组解
所以
所以
所以
此时直线的方程为
同理由
可得
令
，则
，
因为，所以
所以
综上
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