Question

18．先阅读下面的推理过程，然后完成下面问题：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边对x求导，即（cos2x）′=（2cos²x-1）′；
由求导法则得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化简后得等式sin2x=2sinxcosx．
（Ⅰ）已知等式（1+x）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$x+${C}_{n}^{2}$x²+…+${C}_{n}^{n-1}$x^n-1+${C}_{n}^{n}$xⁿ（x∈R，整数n≥2），证明：n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=2}^{n}$k${C}_{n}^{k}$x^k-1；
（Ⅱ）设n∈N^*，x∈R，已知（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令b_n=$\frac{n（{n}^{2}+1）（{a}_{0}-{2}^{n-1}）}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$，求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对等式（1+x）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$x+${C}_{n}^{2}$x²+…+${C}_{n}^{n-1}$x^n-1+${C}_{n}^{n}$xⁿ的x求导，整理即可得出结论；
（Ⅱ）先求出a₀的值，再对等式中的x求导，利用特殊值求出b_n的通项公式，从而求出数列{b_n}的最大项．

解答 解：（Ⅰ）证明：在等式（1+x）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$x+${C}_{n}^{2}$x²+…+${C}_{n}^{n-1}$x^n-1+${C}_{n}^{n}$xⁿ（x∈R，整数n≥2）
的两边对x求导，得：
n（1+x）^n-1=${C}_{n}^{1}$+2${C}_{n}^{2}$x+…+（n-1）${C}_{n}^{n-1}$x^n-2+n${C}_{n}^{n}$x^n-1，
移项，得：n[（1+x）^n-1-1]=$\sum_{k=2}^{n}$k${C}_{n}^{k}$x^k-1；
（Ⅱ）由等式（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
得a₀=2ⁿ，
再两边对x求导，得：
n（2+x）^n-1=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1；
令x=1，得：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n×3^n-1；
则b_n=$\frac{n（{n}^{2}+1）（{a}_{0}-{2}^{n-1}）}{{a}_{1}+2{a}_{2}+3{a}_{3}+…+n{a}_{n}}$=$\frac{n{（n}^{2}+1）{×2}^{n-1}}{n{×3}^{n-1}}$=（n²+1）×${（\frac{2}{3}）}^{n-1}$；
又b_n+1-b_n=[（n+1）²+1]×${（\frac{2}{3}）}^{n}$-（n²+1）×${（\frac{2}{3}）}^{n-1}$
=${（\frac{2}{3}）}^{n-1}$×$\frac{{-n}^{2}+4n+1}{3}$，
得：n≤4时，b_n+1＞b_n，n≥5时，b_n+1＜b_n；
所以数列{b_n}的最大项为b₅=${（\frac{2}{3}）}^{4}$×26=$\frac{416}{81}$．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，也考查了导数的综合应用问题，考查了等比数列的求和公式的应用问题，是综合性题目．