题目内容

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设α，β∈[0， $数学公式$ ]，f（ $数学公式$ + $数学公式$ ）= $数学公式$ ，f（ $数学公式$ ）= $数学公式$ ，求sin（α+β）的值．

解：（1）∵f（x）=cos²x-sin²x+sin2x=cos2x+sin2x
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）…（3分）
由振幅的意义可得，函数f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ …（4分）
最小正周期T= $\text{[math]}$ =π…（5分）
（2）∵f（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（2（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ cosα= $\text{[math]}$ ，
∴cosα= $\text{[math]}$ ，又因为α∈[0， $\text{[math]}$ ]，∴sinα= $\text{[math]}$ …（8分）
同理可得f（ $\text{[math]}$ +π）= $\text{[math]}$ sin（2（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，…（9分）
又因为β∈[0， $\text{[math]}$ ]，∴ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得β= $\text{[math]}$ …（11分）
∴sin（α+β）=sin（ $\text{[math]}$ ）=sinαcos $\text{[math]}$ +cosαsin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由三角函数的运算可得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），易得最值和周期；
（2）由题意可得cosα= $\text{[math]}$ ，进而可得sinα= $\text{[math]}$ ，同理可得β= $\text{[math]}$ ，进而可得sin（α+β）=sin（ $\text{[math]}$ ），代入数值计算即可．
点评：本题考查三角函数的化简和求值，涉及函数的周期和最值的求解，属中档题．