Question

已知函数f（x）=sinxcosϕ+cosxsinϕ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数的图象关于直线对称．
（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若，求sin2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出最小正周期，由确定出的函数解析式，利用对称轴公式列出关系式，将x=代入即可求出φ的值；
（Ⅱ）由第一项确定的函数解析式，根据已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．
解答：解：（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期为2π，
∵y=f（2x+）=sin（2x++φ），y=sinx的对称轴为x=kπ+（k∈Z），
∴令2x++φ=kπ+，将x=代入得：φ=kπ-（k∈Z），
∵0＜φ＜π，∴φ=；
（Ⅱ）∵f（α-）=sin（α-+）=sin（α+）=（sinα+cosα）=，
∴sinα+cosα=，
两边平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=，
则sin2α=-．
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键．