题目内容
已知..
(1)求函数在区间上的最小值;
(2)对一切实数,恒成立,求实数的取值范围;
(3) 证明对一切, 恒成立.
(1)求函数在区间上的最小值;
(2)对一切实数,恒成立,求实数的取值范围;
(3) 证明对一切, 恒成立.
(1)见解析;(2);(3)见解析.
试题分析:(1)对于研究非常规的初等函数的最值问题,往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性,利用单调性求函数在某个区间上的最值;(2)恒成立问题,一般都需要将常数和变量分离开来(分离常数法)转化为最值问题处理;(3)证明不等式恒成立问题,往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明,还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的,然后再证.
试题解析:⑴ ,当,,单调递减,
当,,单调递增. 1分
(由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同,故对经行分类讨论.)
① ,t无解; 2分
② ,即时, 3分
③ ,即时,在上单调递增,;
所以 5分
由题可知:,则.因对于,恒成立,故,
设,则.
单调递增,单调递减.
所以,即.
问题等价于证明(为了利用第(1)小问结论,并考虑到作差做函数证明不方便,下证的最值与最值的关系.)
由(1)可知在的最小值是,当且仅当时取到.
设,则,易得,当且仅当时取到.
从而对于一切,都有恒成立.
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