Question

已知函数．
（1）若，求函数的极小值；
（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

Answer 1

（1）极小值为2；（2）不存在，详见解析．

解析试题分析：（1）由a=4，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，设f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．
解：（1）定义域为，由已知得，   2分
则当时，在上是减函数，
当时，在上是增函数， 
故函数的极小值为．                6分
（2）若存在，设，
则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，
设，
则函数的图象与x轴有三个不同交点，
即在有两个不同的零点．9分
显然在上至多只有一个零点
则函数的图象与x轴至多有两个不同交点，则这样的不存在。       13分
考点：1．函数在某点取得极值的条件；2．根的存在性及根的个数判断．