题目内容
【题目】如图,是底面边长为1的正三棱锥,
分别为棱长
上的点,截面
底面
,且棱台
与棱锥
的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1)证明:为正四面体;
(2)若,求二面角
的大小;(结果用反三角函数值表示)
(3)设棱台的体积为
,是否存在体积为
且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台
有相同的棱长和?若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.
(注:用平行于底的截面截棱锥,该截面与底面之间的部分称为棱台,本题中棱台的体积等于棱锥的体积减去棱锥
的体积.)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,证明见解析.(注:所构造直平行六面体不唯一,只需题目满足要求即可)
【解析】
(1)根据棱长和相等可知,根据面面平行关系和棱锥为正三棱锥可证得
,进而证得
各棱长均相等,由此得到结论;(2)取
的中点
,连接
,根据等腰三角形三线合一的性质和线面垂直判定定理可证得
平面
,由线面垂直性质可知
,从而得到
即为所求二面角的平面角;易知
,从而得到
,在
中根据长度关系可求得
,从而得到结果;(3)设直平行六面体的棱长均为
,底面相邻两边夹角为
,根据正四面体
体积为
,可验证出
;又所构造六面体体积为
,知
,只需满足
即可满足要求,从而得到结果.
(1)棱台
与棱锥
的棱长和相等
平面
平面
,三棱锥
为正三棱锥
为正四面体
(2)取的中点
,连接
,
,
平面
,
平面
平面
为二面角
的平面角
由(1)知,各棱长均为
为
中点
即二面角的大小为:
(3)存在满足题意的直平行六面体,理由如下:
棱台的棱长和为定值
,体积为
设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为
则该六面体棱长和为,体积为
正四面体
体积为:
时,满足要求
故可构造棱长均为,底面相邻两边夹角为
的直平行六面体即可满足要求
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