Question

12．在数列{b_n}中，b₁=0，b_n+1=-$\frac{1}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$，n∈R．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令a_n=3ⁿb_n，求$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接由递推式b_n+1=-$\frac{1}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$，构造出以$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列得答案；
（2）把（1）中求得的{b_n}的通项公式代入a_n=3ⁿb_n，进一步得到$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，再由数列的函数特性求得最值．

解答 解：（1）由b_n+1=-$\frac{1}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$，得${b}_{n+1}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}（{b}_{n}-\frac{1}{4}）$，
∵b₁=0，∴${b}_{1}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}≠0$，
∴数列{${b}_{n}-\frac{1}{4}$}是以$-\frac{1}{4}$为首项，以$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${b}_{n}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，
则${b}_{n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$；
（2）a_n=3ⁿb_n =${3}^{n}[\frac{1}{4}-\frac{1}{4}×（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{3}^{n}[\frac{1}{4}-\frac{1}{4}（-\frac{1}{3}）^{n-1}]}{{3}^{n+1}[\frac{1}{4}-\frac{1}{4}（-\frac{1}{3}）^{n}]}$=$\frac{1}{3}\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}}{1-（-\frac{1}{3}）^{n}}$=$\frac{1}{3}\frac{1+3（-\frac{1}{3}）^{n}}{1-（-\frac{1}{3}）^{n}}$=$\frac{1}{3}\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n}+4（-\frac{1}{3}）^{n}}{1-（-\frac{1}{3}）^{n}}$
=$\frac{1}{3}[1+\frac{4（-\frac{1}{3}）^{n}}{1-（-\frac{1}{3}）^{n}}]$，
当n=1时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=0；
当n＞1时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}[1+\frac{4}{（-\frac{1}{3}）^{n}-1}]$＜0．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$的最大值为0．

点评 本题考查数列递推式，考查了构造法求数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．