Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[﹣1，3]上的最值．

Answer 1

【答案】解：∵函数f（x）过点A（1，0），
∴f（1）=1﹣1﹣1+a=0，
∴a=1，
∴f（x）=x3﹣x2﹣x+1，f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），
∴f（x）在[﹣1，﹣ ]上是增函数，在[﹣ ，1]上是减函数，
在[1，3]上是增函数；
而f（﹣1）=﹣1﹣1+1+1=0，
f（﹣ ）=﹣ ﹣ + +1=1+ = ，
f（1）=0，
f（3）=27﹣9﹣3+1=16，
故函数f（x）的最大值为16，最小值为0．
【解析】由题意可得f（1）=1﹣1﹣1+a=0，从而化简f（x）=x3﹣x2﹣x+1，f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），从而判断函数的单调性再求最值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．