题目内容
(2006•崇文区一模)方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根的个数为( )
分析:方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根可转化为函数f(x)=x-sinx在x∈[-π,π]上的零点,有导数证明函数是单调函数,f(x)零点有且只有一个为0.从而方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根有且只有一个为0.
解答:解:方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根可转化为函数f(x)=x-sinx在x∈[-π,π]上的零点,
f′(x)=1-cosx,在x∈[-π,π],-1≤cosx≤1,所以1-cosx≥0,即f′(x)≥0,
所以f(x)=x-sinx在x∈[-π,π]上为增函数.
又因为f(0)=0-sin0=0,所以0是f(x在x∈[-π,π]上的一个零点,
所以函数f(x)=x-sinx在x∈[-π,π]上的零点有且只有一个为0.
所以方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根有且只有一个为0.
故选A.
f′(x)=1-cosx,在x∈[-π,π],-1≤cosx≤1,所以1-cosx≥0,即f′(x)≥0,
所以f(x)=x-sinx在x∈[-π,π]上为增函数.
又因为f(0)=0-sin0=0,所以0是f(x在x∈[-π,π]上的一个零点,
所以函数f(x)=x-sinx在x∈[-π,π]上的零点有且只有一个为0.
所以方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根有且只有一个为0.
故选A.
点评:本题考查函数的零点与对应方程根的联系,以及导数证单调性,重点锻炼了转化的数学思想.

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