题目内容
（2006•崇文区一模）方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根的个数为（ ）
分析：方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根可转化为函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点，有导数证明函数是单调函数，f（x）零点有且只有一个为0．从而方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根有且只有一个为0．
解答：解：方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根可转化为函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点，
f′（x）=1-cosx，在x∈[-π，π]，-1≤cosx≤1，所以1-cosx≥0，即f′（x）≥0，
所以f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上为增函数．
又因为f（0）=0-sin0=0，所以0是f（x在x∈[-π，π]上的一个零点，
所以函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点有且只有一个为0．
所以方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根有且只有一个为0．
故选A．
f′（x）=1-cosx，在x∈[-π，π]，-1≤cosx≤1，所以1-cosx≥0，即f′（x）≥0，
所以f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上为增函数．
又因为f（0）=0-sin0=0，所以0是f（x在x∈[-π，π]上的一个零点，
所以函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点有且只有一个为0．
所以方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根有且只有一个为0．
故选A．
点评：本题考查函数的零点与对应方程根的联系，以及导数证单调性，重点锻炼了转化的数学思想．
练习册系列答案
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