题目内容
(2006•崇文区一模)已知f(x)=ax3+x2+cx是定义在R上的函数,f(x)在[-1,0]和[4,5]上是减函数,在[0,2]上是增函数.
(I)求c的值;
(II)求a的取值范围;
(III)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(I)求c的值;
(II)求a的取值范围;
(III)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(I)先求函数f(x)的导函数f′(x),由f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数知x=0为函数的一个极值点,由此列方程f′(0)=0即可解得c的值
(II)将函数f(x)的单调性,转化为函数f′(x)的零点分布问题,f(x)在[0,2]上是增函数,在[4,5]上是减函数,说明f′(x)的正零点在[2,4]内,解不等式即可
(III)假设存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,则f′(x0)=3有解,而根据(II)问的计算,此方程的判别式小于零,故而无解,故此点不存在
(II)将函数f(x)的单调性,转化为函数f′(x)的零点分布问题,f(x)在[0,2]上是增函数,在[4,5]上是减函数,说明f′(x)的正零点在[2,4]内,解不等式即可
(III)假设存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,则f′(x0)=3有解,而根据(II)问的计算,此方程的判别式小于零,故而无解,故此点不存在
解答:解:(I)对函数f(x)=ax3+x2+cx求导数,得,f′(x)=3ax2+2x+c
∵f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数
∴函数f(x)在x=0处有极小值,
∴f′(0)=0,即3a×02+2×0+c=0
∴c=0
(II)∵f(x)=ax3+x2,∴f′(x)=3ax2+2x
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-
∵f(x)在[0,2]上是增函数,在[4,5]上是减函数
即f′(x)在[0,2]上大于或等于零,在[4,5]上小于或等于零
∴x2∈[2,4]
即
∴-6≤
≤-3
∴-
≤a≤-
(III)假设存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,
则f′(x0)=3,即3ax02+2x0-3=0,其中△=4+36a
∵-
≤a≤-
∴-12≤36a≤-6
∴△<0∴3ax02+2x0-3=0无实数根
∴f′(x0)=3不成立
∴不存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3.
∵f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数
∴函数f(x)在x=0处有极小值,
∴f′(0)=0,即3a×02+2×0+c=0
∴c=0
(II)∵f(x)=ax3+x2,∴f′(x)=3ax2+2x
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-
2 |
3a |
∵f(x)在[0,2]上是增函数,在[4,5]上是减函数
即f′(x)在[0,2]上大于或等于零,在[4,5]上小于或等于零
∴x2∈[2,4]
即
|
∴-6≤
1 |
a |
∴-
1 |
3 |
1 |
6 |
(III)假设存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,
则f′(x0)=3,即3ax02+2x0-3=0,其中△=4+36a
∵-
1 |
3 |
1 |
6 |
∴-12≤36a≤-6
∴△<0∴3ax02+2x0-3=0无实数根
∴f′(x0)=3不成立
∴不存在点M(x0,y0)使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3.
点评:本题考查了导数在函数单调性和极值中的应用,函数与其导函数的图象性质间的关系,导数的几何意义等知识
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