题目内容
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(I)求证直线CA′∥平面AB′E;
(II)求二面角C-A′B′-B的大小;
(III)求直线CA′与平面BB′C′C所成角的大小.
分析:(I)由直三棱的结构特征(侧面与底面垂直)结合线面垂直的性质,可得CD⊥平面PAD,进而由线面垂直的性质可得AE⊥CD,再由正三角形三线合一,结合△PAD为正三角形,E为PD中点,可得AE⊥PD,结合线面垂直的判定定理可得直线CA′∥平面AB′E;
(II)作PQ∥AB且PQ=AB,连QB、QC,易证△PAD≌△QBC,结合(1)中CD⊥平面PAD和二面角的平面角的定义,可得∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角;
(III)作BF⊥QC,则F为QC中点,连PF,可得四边形AEFB是平行四边形,进而根据线面垂直的第二判定定理,结合AE⊥平面PDC证得BF⊥平面PDC,即∠BPF是BP与平面PDC所成的角,解三角形BPF,可得答案.
(II)作PQ∥AB且PQ=AB,连QB、QC,易证△PAD≌△QBC,结合(1)中CD⊥平面PAD和二面角的平面角的定义,可得∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角;
(III)作BF⊥QC,则F为QC中点,连PF,可得四边形AEFB是平行四边形,进而根据线面垂直的第二判定定理,结合AE⊥平面PDC证得BF⊥平面PDC,即∠BPF是BP与平面PDC所成的角,解三角形BPF,可得答案.
解答:
证明:(I)∵平面PAD⊥平面ABCD,AD为交线,CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴AE⊥CD
又∵△PAD为正三角形,E为PD中点
∴AE⊥PD
∵PD∩DC=D
∴AE⊥平面PCD(5分)
解:(II)作PQ∥AB且PQ=AB,连QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
∴△PAD≌△QBC
∵CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,CD⊥PA
∴PQ⊥BQ,PQ⊥CQ
∴∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角
∵∠BQC=∠APD=60°
∴平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为60°(10分)
(III)作BF⊥QC,则F为QC中点,连PF
∵EF
AB
∴四边形AEFB是平行四边形,BF∥AE
∵AE⊥平面PDC
∴BF⊥平面PDC
∴∠BPF是BP与平面PDC所成的角
设PA=a,则BF=
a,BP=
a
则由直三角形PFB可得sin∠BPF=
=
∴∠BPF=arcsin
∴直线PB与平面PDC所成角的大小为arcsin
(14分)
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201109/20/bf63129c.png)
∴CD⊥平面PAD
∵AE?平面PAD
∴AE⊥CD
又∵△PAD为正三角形,E为PD中点
∴AE⊥PD
∵PD∩DC=D
∴AE⊥平面PCD(5分)
解:(II)作PQ∥AB且PQ=AB,连QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
∴△PAD≌△QBC
∵CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,CD⊥PA
∴PQ⊥BQ,PQ⊥CQ
∴∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角
∵∠BQC=∠APD=60°
∴平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为60°(10分)
(III)作BF⊥QC,则F为QC中点,连PF
∵EF
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∴四边形AEFB是平行四边形,BF∥AE
∵AE⊥平面PDC
∴BF⊥平面PDC
∴∠BPF是BP与平面PDC所成的角
设PA=a,则BF=
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2 |
2 |
则由直三角形PFB可得sin∠BPF=
BF |
BP |
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∴∠BPF=arcsin
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4 |
∴直线PB与平面PDC所成角的大小为arcsin
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4 |
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角,其中(I)的关键,是熟练掌握线面垂直,线线垂直及面面垂直之间的转化,(II)的关键是确定∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角,(III)的关键是确定∠BPF是BP与平面PDC所成的角.
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