Question

8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$．
（1）求f（-1）的值；    
（2）求函数f（x）的值域A；
（3）设$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（a-1）x+a}（a＞-1）$的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的性质可知，只需研究x≥0时，f（x）的取值范围即为函数的值域，根据指数函数的单调性可求出所求；
（2）根据偶次根式的被开方数大于等于0，以及A⊆B建立关系式，可求出a的取值范围

解答 解：（1）∵x≥0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，∴f（1）=（$\frac{1}{2}$）¹=$\frac{1}{2}$．
又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-1）=f（1）=$\frac{1}{2}$；  
（2）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围，
当x≥0时，0＜（$\frac{1}{2}$）^x≤1，故函数f（x）的值域A=（0，1]；
（3）∵$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（a-1）x+a}（a＞-1）$，
∴定义域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}，
由-x²+（a-1）x+a≥0得x²-（a-1）x-a≤0，
即 （x-a）（x+1）≤0，
∵A⊆B∴B=[-1，a]且a≥1，
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数的单调性和一元二次不等式的解法，同时考查了计算能力，属于中档题．