Question

18．已知f（x）=-x²+ax-a+6，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的最小值g（a）；
（2）若g（a）＞a²，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值，得到g（a）的解析式即可；
（2）分别解出关于不同范围内的a的不等式，取并集即可．

解答 解：（1）函数f（x）的对称轴是x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$≤0即a≤0时：f（x）在[0，1]递减，
g（a）=f（x）_min=f（1）=5，
0＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{2}$即0＜a＜1时：f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）递增，在（$\frac{a}{2}$，1]递减，
g（a）=）=f（x）_min=f（1）=5，
$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜1即1≤a＜2时：f（x）在[0，$\frac{a}{2}$）递增，在（$\frac{a}{2}$，1]递减，
g（a）=）=f（x）_min=f（0）=6-a，
$\frac{a}{2}$≥1即a≥1时：f（x）在[0，1]递增，
g（a）=）=f（x）_min=f（0）=6-a，
综上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5，a＜1}\\{6-a，a≥1}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：a＜1时：5＞a²，解得：-$\sqrt{5}$＜a＜1，
a≥1时：6-a＞a²，解得：1≤a＜2，
故a的范围是：（-$\sqrt{5}$，2）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查解不等式问题，考查分类讨论，是一道中档题．