题目内容
1.已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线x+3y+2=0垂直.执行如图所示的程序框图,输出的k值是15.分析 求导数,根据导数的几何意义,结合函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直,建立方程,即可求出a的值,从而可求f(x)解析式,模拟运行程序,可得程序框图的功能是求S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+..+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$>$\frac{14}{15}$时k的值,
从而得解.
解答 解:∵f(x)=x2-ax,
∴f′(x)=2x-a,
∴根据导数的几何意义,y=f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a,
∵函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y=0垂直,
∴(2-a)×(-$\frac{1}{3}$)=-1,
∴a=-1,
∴f(x)=x2+x,
∴$\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{{x}^{2}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$
从而模拟程序运行,可得程序框图的功能是求S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+..+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$=1-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{k}{k+1}$>$\frac{14}{15}$时k的值,
可解得:k>14,
故答案为:15.
点评 本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程,具体涉及到导数的几何意义,直线垂直的性质等知识点,还考查了程序框图和算法,考查了循环结构,属于基本知识的考查.
A. | 焦点在x轴上的椭圆 | B. | 焦在点y轴上的椭圆 | ||
C. | 焦点在x轴上的双曲线 | D. | 焦点在y轴上的双曲线 |
A. | 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍,纵坐标不变 | |
B. | 横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 | |
C. | 纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 | |
D. | 纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍,横坐标不变 |
A. | $\frac{8}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | 2 | D. | 1 |
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$i | D. | -$\frac{1}{2}$i |