Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，，以，，和为顶点的梯形的高为，面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，为椭圆上的任意两点，若直线与圆相切，求面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由梯形的高求出，由梯形的面积，建立关于方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；

（2）设直线的方程为：，利用直线与圆相切，得到关系，直线方程与椭圆方程联立，设，，得出关系，由相交弦长公式，求出关于的函数，根据函数特征，求出其范围，再由，即可求出结论.

（1）由题意，得，且，

∴，又，解得，．

∴椭圆的方程为．

（2）如图，设，，

当圆的切线的斜率存在时，设的方程为：，

切点为，连结，则．

因为与圆相切，

所以，所以．

联立，整理得．

所以，．

又

．

①若时，

．

因为，

当且仅当时，“”成立．

所以

即．

②当时，，所以．

又，

所以．

当圆的切线斜率不存在时，则的方程为或．

此时，的坐标分别为，或，．此时．

综上，面积的取值范围为．