题目内容
【题目】如图,已知在等腰梯形中,
,
,
,
,
=60°,沿
,
折成三棱柱
.
(1)若,
分别为
,
的中点,求证:
∥平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
分析:(1)取的中点
,连接
,
,在三角形
中,得到
,证得
平面
,又由
,
分别为
,
的中点证得
平面
,即可证得面
平面
,利用面面平行的性质,即可得到
平面
.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角
的余弦值.
详解:(1)取的中点
,连接
,
,在三角形
中,
∵,
分别为
,
的中点,∴
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
由于,
分别为
,
的中点,由棱柱的性质可得
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
又平面
,
平面
,
,
∴平面平面
,∵
平面
,
∴平面
.
(2)连接,在
中,
,
,
∴,又
,
,
∴,∴
,又
且
,
∴平面
.
建立如图所示的空间直角坐标系,
可得,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
则,则
,令
,
得,则
为平面
的一个法向量,
设平面的法向量为
,则
,
则,令
,得
,
∴为平面
的一个法向量.
设,
所成角为
,则
,
由图可知二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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