Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，设数列{22-an}的前n项和为S_n．
（1）解不等式：

Sn-am

Sn+1-am

＜

1

2

，求正整数m，n的值；
（2）若数列{b_n}满足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求证：

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜

2

5

．

Answer 1

分析：（1）由已知，可求出a_n=n，从而不等式化为

4- 4 2n - m

4- 4 2n+1 - m

＜

1

2

，整理为4-

4

2n+1

＞m＞4-

12

2n+1

，得出m=2，n=1
（2）先用数学归纳法证明b_n＞n+2，由此b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞2b_k+1，两边同时加上1，并整理得1+b_k+1＞2（1+b_k ），得出1+b_n＞2（1+b^n-1）＞2²（1-b_n-2）＞…＞2^n-1（1+b₁）=5•2^n-1，得出

1

1+ bn

^＜

1

5

^×（

1

2

^）n-1，对不等式的右边各项放缩，再结合等比数列求和公式，计算化简，可以证明．

解答：解：（1）由题意，∵a₂²=a₁•a₄，
∴（1+d）²=1+3d，∴d=1
∴a_n=n，22-an=22-n
∴Sn=4-

1

2n

∵

Sn-am

Sn+1-am

＜

1

2

∴

4- 4 2n - m

4- 4 2n+1 - m

＜

1

2

∴4-

4

2n+1

＞m＞4-

12

2n+1

∴m=2，n=1；
（2）先用数学归纳法证明b_n＞n+2
当n=1时，b₁=4＞1+2，不等式成立．
假设n=k（k∈N，k≥1）时，不等式成立，即b_k＞k+2．则当n=k+1时，b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞（k+2）×2+1=2k+5＞（k+1）+2，即当n=k+1时，不等式也成立．
所以对于任意正整数n均有b_n＞n+2
 由此b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞2b_k+1，两边同时加上1，并整理得1+b_k+1＞2（1+b_k ），∴1+b_n＞2（1+b^n-1）＞2²（1-b_n-2）＞…＞2^n-1（1+b₁）=5•2^n-1，

1

1+ bn

^＜

1

5

^×（

1

2

^）n-1，
∴

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜

1

5

（1+

1

2

+

1

4

+

1

2n-1

）=

1

5

×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

2

5

[1-(

1

2

)n]＜

2

5

．

点评：本题考查等差数列、等比数列通项公式，前n项和公式，放缩法证明不等式，考查分析、构造、转化、计算能力．