题目内容

14．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{81}x+lo{g}_{64}y=4}\\{lo{g}_{x}81-lo{g}_{y}64=1}\end{array}\right.$的解为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{2}}\\{y={y}_{2}}\end{array}\right.$，则log18（x1x2y1y2）=12．

分析 设log81x=a，log64y=b．可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=1}\end{array}\right.$，化为a2-6a+4=0，利用根与系数的关系可得：x1x2=816，同理可得y1y2=642．代入即可得出．

解答 解：设log81x=a，log64y=b．
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=1}\end{array}\right.$，化为a2-6a+4=0，
∴a1+a2=log81（x1x2）=6，∴x1x2=816，
同理可得y1y2=642．
∴log18（x1x2y1y2）=$lo{g}_{18}（8{1}^{6}×6{4}^{2}）$=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了对数的运算法则、指数式与对数式的互化、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

练习册系列答案
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14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，将函数g（x）=f（x）-x-1的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{an}，则该数列的通项公式为（　　）
A．an=n-2B．an=nC．an=n（n-1）D．an=2n-2
5．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱锥D-ABC的体积是$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．
其中正确命题的序号是（　　）
A．①③B．①②C．②③D．①②③
2．设函数f（x）=x2+aln（x+2），且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x1）＞mx2恒成立，求m的最小值．
9．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AB∥DC，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F，H分别是棱BC，CD，AD的中点，AB=1，DC=3，DB=$\sqrt{3}$，∠BCD=30°，BC＞BD．
（1）在棱PC上找一点M，使得平面PAB⊥平面MEF，并证明结论；
（2）在（1）的条件下，求平面MEF与平面PAC所成角的正弦值．
19．已知m，n，i，j均为正整数，记ai，j为矩阵${A_{n×m}}=（{\begin{array}{l}1&{{a_{1，2}}}&…&{{a_{1，m}}}\\ 2&{{a_{2，2}}}&…&{{a_{2，m}}}\\…&…&…&…\\{{a_{n，1}}}&{{a_{n，2}}}&…&{{a_{n，m}}}\end{array}}）$中第i行、第j列的元素，且ai，j+1=ai，j+1，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j（其中i≤n-2，j≤m-2）；给出结论：①a5，6=$\frac{13}{4}$；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③${a_{n+1，m}}={a_{n，m}}+{（{-\frac{1}{2}}）^n}$④若m为常数，则$\lim_{n→∞}{a_{n，m}}=\frac{2+3m}{3}$．其中正确的个数是（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用4种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有72种．
3．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{2}{3}π$），g（x）=cos2x．
（Ⅰ）若$α∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，且f（α）=-$\frac{3}{5}\sqrt{3}$，求g（α）的值；
（Ⅱ）若x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，求f（x）+g（x）的最大值．
4．设F（n）=a1-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+（-1）nan+1Cnn（n≥2，n∈N*）．
（1）若数列{an}的各项均为1，求证：F（n）=0；
（2）若对任意大于等于2的正整数n，都有F（n）=0恒成立，试证明数列{an}是等差数列．

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