题目内容

3.已知函数f(x)=cos(2x+$\frac{π}{3}$)+cos(2x+$\frac{2}{3}π$),g(x)=cos2x.
(Ⅰ)若$α∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$,且f(α)=-$\frac{3}{5}\sqrt{3}$,求g(α)的值;
(Ⅱ)若x$∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]$,求f(x)+g(x)的最大值.

分析 (Ⅰ)由余弦的和差公式,化简得到f(x),再代入,根据角的范围,即可求出g(α)的值,
(Ⅱ)化简f(x)+g(x)=2cos(2x+$\frac{π}{3}$),根据余弦函数的单调性即可求出最值.

解答 解:(Ⅰ)由$f(x)=cos(2x+\frac{π}{3})+cos(2x+\frac{2}{3}π)$
得f(x)=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$-\sqrt{3}sin2x$.
因为$f(α)=-\frac{3}{5}\sqrt{3}$,即$-\sqrt{3}sin2α=-\frac{3}{5}\sqrt{3}$,
所以$sin2α=\frac{3}{5}$.
又因为$α∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$,
所以$2α∈(\frac{π}{2},π)$.
故$cos2α=-\frac{4}{5}$,
即$g(α)=-\frac{4}{5}$.
(Ⅱ)f(x)+g(x)=$-\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2cos(2x+\frac{π}{3})$.
因为x$∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]$,
所以$2x+\frac{π}{3}∈[0,π]$.
所以当$2x+\frac{π}{3}=0$,
即$x=-\frac{π}{6}$时,f(x)+g(x)有最大值,最大值为2.

点评 本题考查了余弦函数的图象和性质,以及三角形函数的和差公式,属于中档题.

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