Question

(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

Answer 1

（2）即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为.
(3) 不存在满足条件的、的值

本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。
(1)
当时，,
,    =
（2）当时，

由，
故当即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）（方法一）由（2）知：=
由得：，
令则，即：。
同理，由得：
另一方面，
当且仅当，即=时，取等号。
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。