Question

17．已知圆A：（x+2）²+y²=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
（1）△PAB的周长为10；
（2）圆P与圆A外切（P为动圆圆心）且过点B．

Answer 1

分析 （1）利用△PAB的周长为10，可得PA+PB=6＞AB，从而动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a=6，c=2，即可得出动点P的轨迹方程；
（2）已知条件，知|PA|=r+1，|PB|=r，所以|PA|-|PB|=1，可得点P的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支（不包括右顶点），即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
∵△PAB的周长为10，
∴PA+PB=6＞AB，
∴动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a=6，c=2，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，
∴动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）圆A：（x+2）²+y²=1的圆心为点A（-2，0），半径为1．
设动圆圆心为P（x，y），半径为r．
由已知条件，知|PA|=r+1，|PB|=r，
∴|PA|-|PB|=1，
∴点P的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支（不包括右顶点），2a′=1，c′=2，
∴a′=$\frac{1}{2}$，b′=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴动点P的轨迹方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}=1$（x$＞\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆、双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用椭圆、双曲线的定义是关键．