Question

【题目】已知 f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2．．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若在处取得极大值，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）减区间，增区间；（2）.

【解析】

(1)求出，通过讨论其符号可得函数的单调区间.

（2）因为在处有极大值，从而可知在的左侧附近有，在的右侧附近有，从而得到在的两侧附近总有，据此可求出的取值范围.

(1) 当时，，令，则，

当时，；

当时，，

所以的增区间为，减区间为.

（2）由(1)得.

因为在处有极大值，

故可知在的左侧附近有，

在的右侧附近有，

所以在的两侧附近有，所以即，

此时当，，则当x∈（﹣∞，0）时，x＜0，ex＜1，ex﹣a＜0，所以f'（x）＞0；

当x∈（0，lna）时，x＞0，ex﹣a＜elna﹣a＝0，所以f'（x）＜0．

故为的极大值点，

若a≤1，则当x∈（0，1）时，x＞0，ex﹣a≥ex﹣1＞0，

所以f'（x）＞0．

所以0不是f（x）的极大值点．

综上可知，a的取值范围是（1，+∞）．