题目内容
【题目】有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；
（Ⅱ）求该学生参加考试的次数
的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.
【答案】（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列见解析；数学期望3.3；（Ⅲ）0.838
【解析】
（Ⅰ）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为
，
则
，然后利用互斥事件的概率公式进行求解；
（Ⅱ）
的可能取值为2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；
（Ⅲ）设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可．
解：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为，，
则
，
，
.
即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.
（Ⅱ）该该学生参加考试的次数的可能取值为2，3，4
；
；
.
所以的分布列为
| 2 | 3 | 4 |
| 0.1 | 0.5 | 0.4 |
.
（Ⅲ）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为
，
.
，
，
，
所以该学生被该校录取的概率为
.
