Question

如图：平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将△ADC折起，使面ADC⊥面ABC，
（1）求证：AB⊥面BCD；
（2）求点C到面ABD的距离．

Answer 1

分析：（1）由AB=BC=a，∠C=135°，知∠BCA=45°，∠ACD=90°，DC⊥AC，由题知沿对角AC将四边形折成直二面角，从而得到DC⊥平面ABC，DC⊥AB，再由∠B=90°，能够证明AB⊥平面BCD．
（2）过点C作CE⊥BD，由（1）可知，CE⊥AB，从而得到CE⊥平面ABD，CE的长度为点C到平面ABD的距离，由此能求出点C到面ABD的距离．

解答：（1）证明：因为AB=BC=a，∠C=135°，
所以∠BCA=45°，∠ACD=90°，所以DC⊥AC，
由题知沿对角AC将四边形折成直二面角，
所以 DC⊥平面ABC，所以DC⊥AB，
而∠B=90°，所以AB⊥BC，
故AB⊥平面BCD．
（2）解：过点C作CE⊥BD，
由（1）可知，CE⊥AB，所以CE⊥平面ABD，
∴CE的长度为点C到平面ABD的距离，
∵BC=CD=a，DC⊥BC，
∴DE=

2 a

2

．
故点C到面ABD的距离为

2 a

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．